Межа функції

Калькулятор границь

Друзі, сьогодні будемо вчитися вирішувати межі. Тема задоволена складна і плохоусвояемая, але «де наша не пропадала». Постараюся викласти її як можна простіше і доступніше.
Що ж таке межа функції? Якщо звернутися до підручників з математичного аналізу, то можна виявити наступне «заумне» визначення:
Границя функції в точці. Нехай функція Межа функції визначена на множині Межа функції, має точку згущення Межа функції. Запис

Межа функції

означає, що для кожного числа Межа функції існує число Межа функції таке, що для всіх Межа функції, для яких Межа функції має сенс і які задовольняють умові Межа функції, справедливо нерівність

Межа функції

Якщо ви його не зрозуміли – не турбуйтеся, ви не одні, з вами більшість студентів нематематичних спеціальностей.
Так як же знайти границю функції. Будемо розбиратися на практиці. Почнемо з записування границі функції.
Приклад 1.

Межа функції

Тут є 3 обов’язкових складових – це, безпосередньо, символ межі Межа функції, функція, межа якої потрібно знайти Межа функції та точка, в якій потрібно обчислити межа Межа функції. Запис без якого-небудь з цих елементів сенсу не має. Досить поширеною помилкою серед студентів є втрата точки, в якій потрібно обчислити межа:

Межа функції

Ще раз повторю, що цей запис не має сенсу.
Так що ж потрібно зробити, щоб межа знайти?
Для того, щоб порахувати межа функції в будь-якій точці, потрібно підставити цю саму точку в функцію і подивитися що вийде. Варіантів не багато: або межа відразу ж порахується (це самий простий випадок, але і він іноді зустрічається на практиці), або у вас виникне невизначеність одного з наступних видів Межа функції, Межа функції.
Порахуємо наш приклад
Рішення:

Межа функції

А тепер детально розберемося що сталося. Запис вигляду Межа функції означає, що Межа функції приймає настільки великі значення, які нам навіть і не снилися. Наочно це можна представити за допомогою послідовності

Межа функції

Підставляємо Межа функції у дріб і дивимося як ця сама дріб буде вести себе при дуже великих значеннях Межа функції. Очевидно, що дріб буде прагнути до 0. А 1+0 самі знаєте чому одно.
Ще один простенький приклад межі
Приклад 2.

Межа функції

Рішення:
Підставляємо Межа функції у функцію і вважаємо

Межа функції

Але, на жаль, межі, які вирішуються однією підстановкою – це рідкість. Найчастіше підстановка приводить до виникнення будь-якої невизначеності. Але і в цьому випадку не варто панікувати, великі уми людства вже давно відпрацювали алгоритм дій у тій або іншій ситуації.

Невизначеність виду Межа функції.
Приклад 3.

Межа функції

Рішення:
Нескладно побачити, що підставивши у функцію нескінченність отримаємо невизначеність виду Межа функції.
Правило:Щоб позбутися невизначеності виду Межа функції, потрібно чисельник і знаменник розділити на Межа функції у старшій ступені.
У цьому прикладі старшої і в чисельнику, і в знаменнику є друга ступінь, на Межа функції і ділимо.

Межа функції

У чисельнику і знаменнику основний дробу отримали суму дрібних «поддробей», в чисельнику у яких знаходиться число, а в знаменнику нескінченність, а отже, самі ці дроби прагнути до нуля. Тепер нескладно порахувати, що межа нашої функції Межа функції.
І ще один приклад
Приклад 4.

Межа функції

Рішення:
В цьому випадку в чисельнику старшої ступенем є 2, а в знаменнику 3. Нас цікавить найбільша ступінь, на неї-то ми й ділимо і чисельник і знаменник.

Межа функції

Всі отримані дробу мають Межа функції в знаменнику і число в чисельнику, а значить, прагнуть до 0. Отримуємо

Межа функції

Невизначеність виду Межа функції.
Приклад 5.

Межа функції

Підставляємо одиницю функцію, переконуємося в наявності невизначеності Межа функції.
Правило:Щоб позбутися невизначеності виду Межа функції у функції, у якій в чисельнику і знаменнику знаходяться многочлени, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники.
Ну що ж, діємо…
У чисельнику маємо різницю квадратів, яка відразу розпадається на 2 дужки. А в знаменнику щоб розкласти на множники, доведеться порахувати дискриминант і знайти корені рівняння Межа функції

Межа функції

Межа функції

В результаті отримуємо

Межа функції

Інший вид меж з невизначеністю Межа функції – це коли функція, межа якої потрібно знайти, містить коріння.
Приклад 6.

Межа функції

Рішення:
Підставивши у функцію Межа функції, переконуємося в наявність невизначеності Межа функції.
Правило:Щоб позбутися невизначеності Межа функції у функціях з корінням, потрібно помножити чисельник і знаменник на спряжений вираз.
Для тих хто не знає або забув, нагадаю, що сполученим називається вираз з протилежним знаком. Тобто для дужки Межа функції сполученої буде дужка Межа функції.

Межа функції

У чисельнику отримали розгорнуту форму різниці квадратів, можемо зібрати її і тим самим позбавитися від кореня в чисельнику.

Межа функції

У знаменнику тепер отримали два кореня замість одного і, на перший погляд, завдання навіть ускладнили. Але це не так, оскільки одна з дужок у нас містить суму Межа функції, а значить якщо ми підставимо в неї нашу точку, вона вже не дасть нам 0. Підставляємо

Межа функції

Число можна і треба винести за знак границі

Межа функції

Підставивши ще раз Межа функції у функцію, отриману під межею, побачимо що невизначеність Межа функції збереглася. Дивимося як ще ми можемо перетворити наше вираження. Якщо винести 2-ку з чисельника за знак межі, то можна побачити, що в чисельнику у нас стоїть різниця квадратів, розпишемо її:

Межа функції

Велика кількість прикладів на знаходження меж ви можете знайти на сторінці Межа функції (Антидемидович) .
Наступного разу дізнаємося з вами що таке перший і другий чудові межі. А за тим вам слід ознайомитися з темою Правила Лопіталя. Приклади рішення. щоб прибрати останні прогалини в умінні вирішувати межі.

Залишити відповідь